软绳多迭代几次就变硬：XPBD 累计量必须活过整个子步

一根静长 1 米的软连接，预测后的两个端点相距 2 米。一次位置修正后，距离变为 1.333333 米；如果多迭代九次，距离应继续趋近 1 米吗？对于指定柔度的 XPBD 距离约束，单独这一条约束在本例中已经达到离散方程的解。继续收紧会改变材质响应，不能用“求解更充分”来解释。

本篇用一维两粒子模型隔离这个差别。两个粒子质量各为 1 千克，逆质量均为 1；静长为 1 米，柔度为 0.01 秒平方每千克，子步时长为 0.1 秒。模型只做预测位置之后的约束投影，不执行重力积分、速度回写或完整绳索模拟。这样，改变迭代次数时出现的差别可以直接追到求解状态，而不会混入积分器和碰撞的影响。

柔度方程里还保留着上一轮修正

设端点坐标 a 小于 b，约束误差为 C=b-a-rest。正误差表示连接被拉长，梯度对 a 为 -1、对 b 为 +1。令柔度为 α、子步时长为 h、累计乘子为 λ，缩放柔度为 α̃=α/h²。每轮更新使用：

Δλ = (-C - α̃ λ) / (wa + wb + α̃)
a ← a - wa Δλ
b ← b + wb Δλ
λ ← λ + Δλ

本例 α̃ 等于 1，第一轮 Δλ 为 -1/3，两端各向内移动 1/3 米。新的 C 为 1/3，λ 为 -1/3；第二轮分子的两项恰好抵消，因此不再修改位置。非零的伸长正是柔度允许保留的形变。把 C 单独作为收敛指标，就会把合法的软约束平衡误判成求解不足。

求解后满足的是 C+α̃λ=0。在这条梯度恒定的一维约束里，第一轮就是闭式结果。代入更新式可得 C新=C旧+(wa+wb)Δλ，与新的累计量合并后残差为零。多约束系统则可能在后续处理邻接边时再次改变端点，仍需多轮迭代；单条约束已经平衡，不意味着整张约束图已经收敛。

若每轮都把 λ 清零，更新式就丢掉抵抗继续收紧的那一项。固定输入中，每轮误差都缩小为前一轮的 1/3，十轮后只剩 1/3^10 米。迭代预算从一轮改成十轮，实际上把同一条软连接收紧了四个数量级以上。美术或玩法调好的柔度因此会随着质量档位、迭代预算改变，求解器配置也就偷偷成了材质配置。

累计量属于约束实例，重置属于子步入口

研究目录 .tmp/daily-labs/2026-11-04-1930/ 的 DistanceConstraint.cs 保留完整实现。Program.Main 通过 BeginSubstep → Solve 建立一次求解生命周期；只有子步开始调用重置，迭代循环对同一个实例反复求解。

public sealed class DistanceConstraint
{
    public double Lambda { get; private set; }
    public void BeginSubstep() => Lambda = 0;

    public bool Solve(ref double a, ref double b, double wa, double wb,
        double rest, double compliance, double dt)
    {
        if (!double.IsFinite(a) || !double.IsFinite(b) ||
            !Valid(wa) || !Valid(wb) || !Valid(rest) || rest == 0 || !Valid(compliance) ||
            !double.IsFinite(dt) || dt <= 0 || b <= a)
            throw new ArgumentException("Invalid constraint input");
        if (wa == 0 && wb == 0) return false;
        double alpha = compliance / (dt * dt);
        double denominator = wa + wb + alpha;
        if (!double.IsFinite(alpha) || !double.IsFinite(denominator) || denominator <= 0)
            throw new ArgumentException("Unrepresentable constraint scale");
        double c = b - a - rest;
        double delta = (-c - alpha * Lambda) / denominator;
        double nextA = a - wa * delta, nextB = b + wb * delta;
        double nextLambda = Lambda + delta;
        // 整体校验后提交，错误输入不留下部分更新。
        if (!double.IsFinite(nextA) || !double.IsFinite(nextB) ||
            !double.IsFinite(nextLambda) || nextB < nextA)
            throw new ArgumentException("Invalid constraint result");
        a = nextA; b = nextB; Lambda = nextLambda;
        return true;
    }

    private static bool Valid(double x) => double.IsFinite(x) && x >= 0;
}

这个类型只接受严格有序的端点和正静长，拒绝重合端点；三维距离约束在零长度处也需要另外指定方向策略。两端逆质量为零时跳过，避免把无法移动的连接当成可修复误差。一个静态端点则正常参与求解，全部位移由另一个端点承担。实现先计算候选，再整体校验提交，非法尺度或结果不会留下只移动一端的状态。

λ 必须归具体约束所有，不能在求解每条边时新建临时实例，也不能让整根绳的所有边共享一个数。静长、柔度和逆质量在一次子步的迭代过程中必须保持不变，修改这些参数后要重新开始求解。它记录的是当前约束在当前子步中已经施加的修正；外层调度器负责子步边界，内层循环负责迭代次数。本实现每个子步从零开始，不支持跨步热启动。如果要复用历史乘子，需要另外定义时长变化、约束身份与预测状态的转换合同。

子步变短，不等于同一方程多算一遍

保持相同预测位置，把 h 从 0.1 秒改为 0.05 秒，α̃ 从 1 增为 4，单次残余伸长变为 2/3 米。更短的物理时间允许同一柔性连接产生更小的位置修正。这个结果比较的是同一预测状态下的离散投影；它没有证明整段动态模拟在不同子步数下具有完全一致的轨迹。

真正的多子步还会重新积分外力、推进位置并更新速度。柔度参数可保持材料含义，但时间离散、碰撞处理和有限迭代依然会影响结果。若传入的是整帧时长，而实际每个子步只推进四分之一帧，α̃ 就会小十六倍，连接会被错误地调硬。求解入口应接收真实子步 h，不能从渲染帧计时器里自行取值。

α 为零时，公式退化为刚性距离投影；正柔度时，不能把“距离误差必须归零”的刚性停止条件直接照搬过来。若需要诊断收敛，应检查柔度残差与邻接约束的相互影响，再决定是否增加迭代。λ/h² 可以在相应离散模型中解释为约束力尺度，但这里没有做速度重建和力学标定，不把它包装成完整引擎的受力输出。

用残差和质量中心同时约束结果

2026-11-04 在 .NET 9 Release 下运行独立 C# 程序。Check 验证固定结果、累计量重置、半时长、静态端点与双静态跳过；Reject 验证负数、非有限数、零静长、非法时长与不可表示尺度，并断言拒绝后位置和乘子未变。

cd "$WORK_DIR"
dotnet build .tmp/daily-labs/2026-11-04-1930/DistanceLab.csproj -c Release --no-restore
dotnet run --project .tmp/daily-labs/2026-11-04-1930/DistanceLab.csproj -c Release --no-build

build: exit=0, warnings=0, errors=0
run: exit=0, passed=27, failed=0, skipped=0
elapsed_ms=7.5998
first_residual=0.3333333333333335
retained_10=0.3333333333333335
wrong_reset_10=1.6935087808533922e-05
half_dt_residual=0.6666666666666665
random_count=10000
maxResidual=3.1086244689504383e-15
maxCenter=2.842170943040401e-14
maxIter=3.552713678800501e-15

固定种子 71104 的 10,000 组输入将起点限制在 [0,10)、初始间距在 [1,5)、正静长在 [0.2,1)、逆质量在 [0.1,3.1)、柔度在 [0,0.05)、时长在 [0.01,0.1)。每组检查 C+α̃λ、质量加权位置和 a/wa+b/wb 的守恒，以及再迭代五轮的距离变化。后者只有质量不变时才能直接用作质量中心守恒的等价检查；静态端点单独验证，不放进除以逆质量的统计。

这些是数值正确性结果，耗时没有引擎或 GPU 性能含义。证据由当前核心源码、固定与随机回归及当天运行输出共同组成，尚未覆盖三维方向变化、闭环绳索、多约束耦合和碰撞。

绳索求解器可以把迭代预算作为收敛资源，但前提是约束实例保留本子步的累计量。柔度、子步时长与迭代状态分别属于材料、时间推进和求解器，三个入口一旦混在一起，降低画质预算就可能同时改掉角色能够拉多长绳子。应先修复这个状态生命周期，再讨论增加迭代或细分子步。