动画贝塞尔缓动：横向手柄为什么没有改变播放节奏

把动画曲线的两个横向手柄都向右拖，预期是物体在前半程停留更久。如果运行时仍然在时间过半时走完一半距离，问题可能出在求值入口：代码直接计算了 y(s)，其中 s 是归一化时间。这样无论怎样修改横向手柄，输出都不会变化，因为两个横坐标根本没有进入计算。

独立 C# 动画求值探针固定四个控制点 P0=(0,0)、P1=(0.8,0)、P2=(0.9,1)、P3=(1,1)。时间进度 s=0.5 对应的曲线参数为 t=0.2639177702，输出进度为 0.1721926561。若把参数直接设为 0.5，读出的进度是 0.5，但这个曲线点的横坐标已经到了 0.7625。它回答的是曲线参数走到一半时在哪里，动画需要的却是时间走到一半时在哪里。

时间轴需要一次反解

三次贝塞尔的单轴表达式为：

B(t; a,b) = 3(1-t)²ta + 3(1-t)t²b + t³
x(t) = B(t; x1,x2)
y(t) = B(t; y1,y2)
输出 E(s) = y(t)，其中 x(t)=s

这里的 t 是构造曲线的无量纲参数，s 是动画时钟给出的无量纲时间比例。只有 x(t)=t 时才能直接代入相同数值。手柄在对角线上也不代表参数线性：例如控制点 (0,0)、(1,1) 形成的几何轨迹是对角线，但 x(t)=3t²-2t³。这条曲线的最终缓动函数应是恒等映射，因为反解后 y(t)=x(t)=s。

当前合同固定端点，要求 x1,x2 都在 [0,1]。在这个范围内，横坐标单调不减且整体严格递增，内部可以有孤立的零导数点；因此每个时间输入都有唯一参数。横向手柄不必满足 x1≤x2，(1,0) 这组横坐标也合法。若允许横向手柄任意越界，曲线可能回折，同一时间出现多个交点，求值器还要决定选择哪一支。这里选择在数据入口拒绝这种定义，不把分支选择隐含在数值迭代里。

核心位于 .tmp/daily-labs/2026-10-30-2000/BezierEase.cs，调用链是 Program.Check → Evaluate → Coordinate。Evaluate 返回求得的参数与进度，方便测试反解残差；表现层只消费进度：

public static class BezierEase
{
    public static double Coordinate(double t, double a, double b)
    {
        double u = 1 - t;
        return 3 * u * u * t * a + 3 * u * t * t * b + t * t * t;
    }

    public static (double Parameter, double Value) Evaluate(
        double time, double x1, double y1, double x2, double y2)
    {
        if (!double.IsFinite(time) || time < 0 || time > 1 ||
            !double.IsFinite(x1) || !double.IsFinite(x2) ||
            x1 < 0 || x1 > 1 || x2 < 0 || x2 > 1 ||
            !double.IsFinite(y1) || !double.IsFinite(y2) ||
            y1 < -4 || y1 > 4 || y2 < -4 || y2 > 4)
            throw new ArgumentOutOfRangeException(nameof(time));
        if (time == 0 || time == 1) return (time, time);
        // 固定二分次数，以参数误差为合同，避免平坦导数下牛顿步越界。
        double lo = 0, hi = 1;
        for (int i = 0; i < 48; i++)
        {
            double mid = (lo + hi) * 0.5;
            if (Coordinate(mid, x1, x2) < time) lo = mid;
            else hi = mid;
        }
        double t = (lo + hi) * 0.5;
        return (t, Coordinate(t, y1, y2));
    }
}

纵向控制点允许 [-4,4]，这是本探针的显式数值合同，保留有限超调空间。它没有把输出钳制到 [0,1]：控制点 (0.2,2)、(0.8,2) 在半程给出约 1.625，适合有意越过目标的位移效果。透明度等不能超调的属性应在应用层明确处理，而不是让通用求值器偷偷改变曲线。时间超界同样由入口拒绝；循环、倒播或结束停留属于时钟层的归一化规则。

平坦导数会放大反解误差

采用二分法，是为了始终保留包含交点的参数区间。每轮比较 x(mid) 与目标时间，并丢弃另一半；48 轮在精确算术下把初始参数区间压缩到 2^-48。代码不会在小导数附近做除法，也不会把候选点推出 [0,1]。这个选择让当前实现容易核验，但浮点数上的误差仍需单独讨论。

以 x1=x2=0 为例，x(t)=t³。时间 s=10^-9 的正确参数是 0.001。若牛顿法直接用 t=s 初始化，导数为 3×10^-18，第一步就跳到约 333333333.3333334。本章边界回归得到二分参数 0.0009999999999994458，输出进度约 2.998×10^-6。运行时若选择牛顿加速，需要保留括区并在导数过小、候选越界时退回二分；不能只把迭代次数调大。

另一个更隐蔽的边界是横向控制点 (1,0)。此时 x(t)=0.5+4(t-0.5)³，中心导数为零。固定 s=0.5，解析参数是 0.5；当前 double 实现返回的进度为 0.4999968569895321，与解析值相差约 3.143×10^-6。接近中心时，多个不同参数的横坐标会舍入到相同浮点值，比较无法再可靠地区分它们。48 轮区间宽度不能直接变成对真实根的 48 位精度保证。

这也是只检查 |x(t)-s| 不够的原因。输出灵敏度取决于 dy/dx，横轴接近平坦时，很小的时间残差仍能对应可见的输出误差。若位移幅度为 100 个单位，上述样本的位移偏差约为 0.0003143 个单位；扩大到很长的路径，或者把曲线用于严格判定，误差预算便可能不再成立。需要更高精度时，应为退化曲线采用稳定表达式或专门求根策略，并验证最终属性误差，而不是继续缩小已经失去分辨率的时间残差。

求值精度不能决定玩法时序

Program.cs 的回归先随机生成已知参数 t，正向计算 s=x(t)，再反解并与原参数、原纵坐标比较。固定种子 200030，10,000 组横向控制点位于 [0,1)、纵向控制点位于 [-2,2)，参数位于 [0.001,0.999)。最大参数误差为 4.7739590×10^-15，最大输出误差为 2.8754776×10^-14，最大横向残差为 4.7739590×10^-15。随机结果与中心退化样本分别记录，避免大批普通样本掩盖极小概率的病态输入。

决定性的失败回归保留为：

var sample = BezierEase.Evaluate(0.5, 0.8, 0, 0.9, 1);
double wrong = BezierEase.Coordinate(0.5, 0, 1);
Check(Math.Abs(BezierEase.Coordinate(sample.Parameter, 0.8, 0.9) - 0.5)
    < 1e-13, "time inversion");
Check(sample.Value < 0.2 && wrong == 0.5, "wrong parameter regression");

当天执行命令：

dotnet build $WORK_DIR/BezierEaseLab.csproj -c Release
dotnet run --project $WORK_DIR/BezierEaseLab.csproj -c Release --no-build

Release 构建退出码 0，零警告、零错误，耗时 5.75 s；运行退出码 0，24 项检查通过、失败 0、跳过 0，探针内部耗时 88.5105 ms。覆盖起终点、恒等曲线、横向手柄变化、允许的手柄逆序、超调、两类平坦导数、非法输入和 10,000 组正反向回归。这些耗时是本次执行记录，不用于比较求值性能；探针尚未接入引擎播放或画面捕获。

求值器应位于时钟与属性写入之间：时钟提供归一化时间，求值器执行横轴反解，表现层按输出写入位置、缩放等属性。伤害生效、状态完成和循环次数继续依据逻辑时钟；它们不能等待视觉进度刚好等于 1，因为曲线可能超调，也可能在浮点计算中提前靠近终点。

对美术工具链，最有价值的验收是固定时间采样，而非只比较四个控制点是否导出一致。离线烘焙查找表时，也必须按等时间 s 采样 E(s)；按等参数 t 烘焙，再把数组下标当时间，会把同一个错误换成缓存形式。当前 48 轮求值可作为可核验基线，是否改成带括区牛顿法或查找表，应由目标属性的误差上限与实际调用成本决定。横向手柄只有进入这条反解链，才真正拥有动画节奏的控制权。