三角形共享边的像素归属：全含边会重画，全排边会漏画

把一块半透明 UI 方片拆成两个三角形，软件绘制结果却沿对角线多出一条深色线。两片使用同一种颜色、同一份透明度，顶点也没有错位。若每个三角形都接收边上的像素，对角线就会混合两次；把所有边都改成严格不等号，又会把这条深线变成漏画的裂缝。

这里把绘制缩成一个可运行的覆盖问题：四乘四方块，逐像素统计两个三角形分别接受了几次。探针使用独立 C# 程序，不调用图形设备；它适合验证软件遮罩、离线栅格工具或自定义覆盖阶段的分区合同，不把结果包装成某个 GPU 后端的实际截图。

主视觉说明相邻面之间的采样归属；精确坐标、样本数量与覆盖结果以下方数据图为准。

一条对角线同时属于两片，颜色就会累积

方块四角为 (0,0)、(4,0)、(4,4)、(0,4)，沿 (0,0) → (4,4) 切开。屏幕坐标约定为 X 向右、Y 向上，像素 (x,y) 的采样点是 (x+0.5,y+0.5)。因此四个对角线像素的中心恰好落在两片的公共边上。

对逆时针三角形，一条有向边 a→b 的边函数为 E=(bx-ax)(py-ay)-(by-ay)(px-ax)。内部位于每条边的左侧，对应正值；零值表示采样点落在边所在直线上。三条边都用 E >= 0 时，公共边上的点满足两片判定，于是得到 20 次覆盖。全部改为 E > 0，这四点又同时被拒绝，只有 12 次。

假设源 Alpha 为 0.5、背景 Alpha 为零，按普通 over 合成，一次覆盖得到 0.5，两次得到 0.5+0.5×(1-0.5)=0.75。这是重复覆盖可能变成可见接缝的代数解释，本文并未执行颜色混合测试。对不透明绘制，最终颜色可能掩盖重复，但覆盖计数的错误仍然存在，不能只用成品截图判断分区是否正确。

零值边需要一个方向约定

边界点应该恰好交给一侧。本文的 Top-left 规则在 E=0 时，仅接收向下的边，或向左的水平边，即 dy<0 || (dy==0 && dx<0)。这个符号与前面的 Y 向上、逆时针和边函数定义成套使用。换成 Y 向下的坐标后，不能原样搬用条件。

公共边在两片逆时针三角形中方向相反。一条非水平边反向后 dy 变号；水平非零边反向后 dx 变号，所以两边的零值接收条件互补。在固定方块中，下方三角形 A 的公共边是 (4,4) → (0,0)，向下，四个边界样本全部归 A。上方三角形 B 拒绝它们，其余内部点各归所在的三角形。

Coverage.cs 的完整实现如下。Covers → Accept → Edge 是唯一覆盖调用链；先校验输入并统一绕序，再对采样点判断。Inclusive 与 Exclusive 只用于保留错误路径的回归对照。

public readonly record struct Point(int X, int Y);
public enum EdgeRule { Inclusive, Exclusive, TopLeft }

public static class Coverage
{
    private static void Validate(Point p)
    {
        if (p.X < -16384 || p.X > 16384 || p.Y < -16384 || p.Y > 16384)
            throw new ArgumentOutOfRangeException(nameof(p));
    }

    private static long Edge(Point a, Point b, long x, long y) =>
        (2L * b.X - 2L * a.X) * (y - 2L * a.Y) -
        (2L * b.Y - 2L * a.Y) * (x - 2L * a.X);

    private static bool Accept(Point a, Point b, long x, long y, EdgeRule rule)
    {
        long e = Edge(a, b, x, y);
        if (e != 0) return e > 0;
        return rule switch
        {
            EdgeRule.Inclusive => true,
            EdgeRule.Exclusive => false,
            _ => b.Y < a.Y || (b.Y == a.Y && b.X < a.X)
        };
    }

    public static bool Covers(Point a, Point b, Point c, Point pixel,
        EdgeRule rule = EdgeRule.TopLeft)
    {
        Validate(a); Validate(b); Validate(c); Validate(pixel);
        if (!Enum.IsDefined(rule)) throw new ArgumentOutOfRangeException(nameof(rule));
        long area = Edge(a, b, 2L * c.X, 2L * c.Y);
        if (area == 0) return false;
        if (area < 0) (b, c) = (c, b);
        long x = 2L * pixel.X + 1, y = 2L * pixel.Y + 1;
        return Accept(a, b, x, y, rule) && Accept(b, c, x, y, rule) &&
            Accept(c, a, x, y, rule);
    }
}

实现把顶点坐标乘二，像素中心写成奇数坐标，使半像素不需要浮点表示。边函数数值变成原来的四倍，符号和零值不变。输入顶点与像素索引均限制在正负 16,384 以内，中间乘积使用 long；在该范围内，坐标差的乘积及相减远小于其上限。越界先抛错，退化或重复点构成的零面积三角形返回不覆盖。

这里主动接收两种绕序，是为了把“哪些样本属于三角形”与背面剔除分开。若渲染器需要剔除背面，应在统一绕序前保留原始面积符号并另行决策。本实现也没有计算插值权重：覆盖用的零值归属不能随意偏移属性插值所使用的边函数，否则接缝虽然消失，UV 或深度可能被另一种误差改变。

验证目标是分区，参照就不该再写一遍边函数

Program.Fixed 对三种规则分别统计漏点、重复点和总覆盖次数，把错误结果本身作为必须保持的反例。Program.Rectangles 则枚举宽高 1 至 12、平移量 -7、0、5，以及两种对角线，共 864 种矩形与划分组合。两片各自独立枚举六种顶点排列，共 36 对绕序组合；每组检查矩形内部与外围一圈像素。

参照只按 x>=left && x<right && y>=bottom && y<top 判定矩形中的像素索引，不调用边函数。实际覆盖次数必须与参照的零或一完全相等，因而重复覆盖与漏画都会失败。整数矩形边界不经过半整数中心，这个参照没有暗中引入另一套三角形边界规则。

Program.Boundaries 另外验证共线、重复点、范围极值、外部像素、越界输入和非法规则。当前整数顶点加半整数中心的合同，不会让采样点恰好落在水平或竖直边上；水平零值分支依据方向互补关系给出，但没有被这组运行输入直接触发。若扩展到子像素顶点或多重采样，必须增加对应样本，不能把现有通过数当作完整设备一致性证明。

当天运行环境为 .NET 9 Release，LAB_DIR 指向保存上述源码与项目文件的研究目录：

dotnet build "$LAB_DIR/CoverageLab.csproj" -c Release
dotnet run --project "$LAB_DIR/CoverageLab.csproj" -c Release --no-build

构建和运行退出码均为 0，构建零警告、零错误。决定性输出整理如下，耗时为整份验证程序的墙钟时间，不是光栅吞吐基准：

passed=12 failed=0 skipped=0 elapsedMs=515.6885
Inclusive fragments=20 missing=0 duplicate=4
Exclusive fragments=12 missing=4 duplicate=0
TopLeft fragments=16 missing=0 duplicate=0
rectangleCases=864 permutationPairs=36 oracleSamples=2247264

这份互补保证还依赖两片真的共享同一条边。若裁剪、投影或量化分别计算出了略有差别的端点，两次判定可能已经在测试两条不同的直线，Top-left 无法替上游补齐几何。实际接入时应让相邻面共用一致的端点变换与量化约定，再逐项验证采样位置、坐标方向和覆盖规则；不要把任意 epsilon 塞进零值条件来掩盖差异。

对开头的 UI 方片，固定样本已从重复或缺失恢复为各一次覆盖。它解决的是相邻三角形如何划分采样点，不会消除有意重叠的几何，也不会提供边缘抗锯齿。软件绘制链路可以把这条分区合同固定下来；若目标是复刻设备光栅结果，下一道验收应使用设备回读验证其子像素量化和采样规则，而不是继续增加当前整数方块的测试数量。