UI 粗折线的长尖角：Miter 限制应改变连接轮廓
一条宽度为 16 的 UI 路径线，在急转弯处伸出了接近 31 的长刺。中心线没有多余控制点，输入也都是有限数；问题来自把相邻线段的两条外侧边一直延长到交点。线段越接近折返，交点就越远。若只在最后把该顶点的位置截短，尖角虽然变短，连接处却不再落在原来的两条边上。
这次把问题压到三个点：局部 XY 平面中，A=(-100,0)、B=(0,0)、C=(-86.602540378,50)，Y 向上，路径依次经过 A、B、C。长度统一使用 UI 局部单位，半宽 h=8。入射方向向右，出射方向相对它左转 150°；这里的“转角”指前进方向的变化，因此两条中心线射线围成的窄角是 30°。它不是 150° 的内夹角。
这张概念示意只表达长尖端与截角的轮廓差异；精确连接位置以稍后的固定数据图为准。研究实现只求一个连接点的外侧候选，没有把完整 UI Mesh 的渲染结果当作已验证事实。
宽度 16 的线为什么伸出 30.91 的尖端
令单位前进方向为 u、v。路径左转时，外侧位于右手边；右转则相反。因此先由叉积符号选择同一外侧的单位法线 n0、n1，再求平分方向 m=normalize(n0+n1)。候选位移若写为 t*m，它在任一外法线方向上的投影都必须等于半宽：dot(t*m,n0)=h。于是 Miter，即两条偏移直线相交的斜接点，为 M=B+m*h/dot(m,n0)。
本例的长度比 r=|M-B|/h 是 1/cos(75°)=3.863703305，距离为 30.909626441。外侧交点坐标约为 (29.856406461,-8)。相比之下，90° 转角的长度比只有 √2，对应距离 11.313708499。线宽相同却长短悬殊，来自分母随折返趋近零，不是线宽参数被重复乘了一次。
限制 L=3 表示允许斜接距离不超过半宽的三倍。本实现以 r<=L 保留 Miter；一旦越界，就返回两个偏移端点 Q0=B+h*n0、Q1=B+h*n1，由它们组成 Bevel 的外侧直边。固定输入得到 Q0=(0,-8)、Q1=(4,6.928203230)，两点距 B 均为 8。
这里选择的是 Bevel，不是把 Miter 沿平分方向缩到 24，也不是另一种保留部分尖端的裁切算法。沿平分方向截短后，该点到两条中心线的垂距都会小于 h；若原来的偏移边仍被保留，就无法同时维持边界连接。返回顶点数量从一个变为两个，正是调用接口需要显式携带的变化。
连接类型必须和顶点一起返回
Join.cs 中的 StrokeJoin.TryBuild 返回 Join 候选，字段 Kind 区分 Straight、Miter 和 Bevel，Outer 只承载外侧点，Ratio 保留未限制斜接的长度比供检查。以下是工程实际使用的完整核心源码；项目启用了隐式 using，目标为 net9.0：
public readonly record struct V2(double X, double Y)
{
public static V2 operator +(V2 a, V2 b) => new(a.X+b.X, a.Y+b.Y);
public static V2 operator -(V2 a, V2 b) => new(a.X-b.X, a.Y-b.Y);
public static V2 operator *(V2 a, double k) => new(a.X*k, a.Y*k);
public double Length => Math.Sqrt(X*X+Y*Y);
public bool Finite => double.IsFinite(X) && double.IsFinite(Y);
public static double Dot(V2 a, V2 b) => a.X*b.X+a.Y*b.Y;
}
public sealed record Join(string Kind, V2[] Outer, double Ratio);
public static class StrokeJoin
{
public static bool TryBuild(V2 a, V2 b, V2 c, double halfWidth,
double limit, out Join? candidate)
{
candidate = null;
if (!a.Finite || !b.Finite || !c.Finite ||
!double.IsFinite(halfWidth) || halfWidth <= 0 ||
!double.IsFinite(limit) || limit < 1) return false;
V2 u = b-a, v = c-b;
double lu = u.Length, lv = v.Length;
if (!double.IsFinite(lu) || !double.IsFinite(lv) ||
lu <= 1e-9 || lv <= 1e-9) return false;
u *= 1/lu; v *= 1/lv;
double dot = Math.Clamp(V2.Dot(u,v), -1, 1);
// 近折返没有稳定的单一外侧，交给上游拆段。
if (1+dot <= 1e-12) return false;
double cross = u.X*v.Y-u.Y*v.X;
double side = cross >= 0 ? -1 : 1;
V2 n0 = new V2(-u.Y,u.X)*side;
V2 n1 = new V2(-v.Y,v.X)*side;
V2 sum = n0+n1;
V2 m = sum*(1/sum.Length);
double denominator = V2.Dot(m,n0);
if (!double.IsFinite(denominator) || denominator <= 0) return false;
double ratio = 1/denominator;
string kind = cross == 0 ? "Straight" : ratio <= limit ? "Miter" : "Bevel";
V2[] outer = kind == "Bevel"
? [b+n0*halfWidth, b+n1*halfWidth]
: [b+m*(halfWidth*ratio)];
if (outer.Any(p => !p.Finite)) return false;
candidate = new Join(kind, outer, ratio);
return true;
}
}
长度下限 1e-9 使用同一局部单位；近折返阈值 1+dot<=1e-12 则无量纲。它们是本切片的数值合同，并非适用于所有坐标尺度的常数。重复点、极短段、非有限数和导致中间长度溢出的输入都会失败。输入接近反向时，平分方向对微小扰动敏感，当前入口要求上游拆成独立段，再明确端帽如何处理，避免返回一个方向不稳定的连接。
完全直行采用右侧偏移点作为外侧占位，返回 Straight；此时没有需要填充的转角。Bevel 和 Miter 仍需调用者结合内侧连接生成索引。尤其当线段短到相邻连接彼此侵入时，单个连接的长度有界并不意味着整条轮廓无自交。这也是此处没有直接返回完整三角形列表的原因。
用偏移距离验算，而不再抄一次半角公式
Program.cs 的调用链是 Main → AngleGrid → Read → TryBuild。AngleGrid 遍历 -175° 到 175° 的整数转角，排除零，共 350 个样本。它把 L 放宽到 100，使这组范围内的候选都走 Miter，然后独立检查 dot(M-B,n0)=8 与 dot(M-B,n1)=8。测试答案来自两条偏移直线方程，不依赖实现的法线求和步骤。最大残差为 3.33955E-13 个局部单位。
正常样本、150° 尖角回归、镜像、平移以及阈值等号分别约束选择行为。阈值测试把同一次计算得到的 r 作为 L，要求 Miter；把 L 降到相邻的较小 double，要求 Bevel。它证明本实现使用闭区间判定，不声称不同浮点后端会在理想角度边界给出相同末位。
失败路径在 InvalidInputs 中保留先前有效连接。这个回归可以直接复制到同一项目：
Join active = new("Miter", [new V2(8,-8)], Math.Sqrt(2));
Join prior = active;
if (StrokeJoin.TryBuild(new(-100,0), new(0,0), new(-100,0),
8, 3, out var candidate)) active = candidate!;
if (!ReferenceEquals(active, prior)) throw new Exception("failure-keeps-active");
2026-09-11 使用 .NET SDK 9.0.202、net9.0 Release 执行；$PROBE_DIR 指向包含上述文件的研究目录：
cd "$PROBE_DIR"
dotnet build JoinLab.csproj -c Release
dotnet run --project JoinLab.csproj -c Release --no-build
构建退出码 0，警告 0、错误 0，耗时 15.22 秒；运行退出码 0，决定性输出为：
passed=17 failed=0 skipped=0 samples=350 duration_ms=14.7670
turn=150 half_width=8 limit=3 ratio=3.863703305 uncapped_length=30.909626441 selected=Bevel
normal_length=11.313708499 bevel_radii=8,8 maximum_error=3.33955E-13 failure_keeps_active=true
17 项检查全部通过，其中一项覆盖上述 350 个转角。耗时仅记录 CPU 功能检查，不作为网格吞吐量或 GPU 性能结论。本次也未覆盖 Unity Canvas、抗锯齿、透明混合与实际像素回读。
有界尖角仍然需要完整轮廓合同
对程序化 UI 路径，连接生成阶段应交付“类型加顶点”，让索引生成端知道自己收到一个交点还是一条截角边。后续 Bounds 和命中区域需要基于实际生成的轮廓，而不能只把中心线范围外扩一个半宽：即便 L=3，合法 Miter 仍可能伸出超过 h。
若设计要求的是屏幕像素宽度，应先决定在哪个空间生成或度量连接。这里在局部 XY 中计算，经历非均匀缩放后不能继续声称各方向具有相同屏幕半宽。动态路径在 Miter 与 Bevel 阈值附近往返，也可能产生轮廓跳变；是否加入视觉过渡需要另行定义，当前函数不拥有跨帧状态。
开篇的长刺可以通过明确的轮廓选择消除：150° 样本从距离 30.91 的交点切换为两端半径 8 的 Bevel 边。但内侧交点、短段重叠、端帽和填充绕序仍需整条路径的生成器处理。Miter 限制给出了单个外侧连接的局部长度约束，不能替代完整轮廓的可填充性检查。