镜头弹簧跟随随帧率变形：位置和速度必须一起精确推进

镜头从位置 0 追向位置 10，弹簧参数不变，跑满一秒后却因刷新率不同停在不同位置。研究程序采用先更新速度、再更新位置的半隐式欧拉法，30 Hz 得到 9.929777，120 Hz 得到 9.959065。两次都没有穿过目标，看起来都足够平滑，但它们没有执行同一条连续运动曲线。

这种差异会影响镜头切换后的构图、跟随延迟和回放对齐。给加速度乘上帧时间，只保证单位正确，并不保证积分结果与分帧方式无关。对于目标在当前区间内固定、参数不变的临界阻尼弹簧，可以直接求解区间末的完整状态，无须靠缩短步长逼近。

一秒钟的运动不能由位置独自描述

用 x 表示镜头位置、g 表示目标、v 表示速度，采用单位质量模型：x'' + 2ωx' + ω²(x-g) = 0。ω 的单位为每秒，刚度系数为 ω²，阻尼系数为 2ω；这里没有另外一个可任意调节的阻尼比。

令 y=x-g，初值为 y₀、v₀。临界阻尼的重复实根为 −ω，因而区间 t 内有：

c = v₀ + ωy₀
y(t) = (y₀ + ct) exp(-ωt)
v(t) = (v₀ - ωct) exp(-ωt)
x(t) = g + y(t)

位置和速度都必须从同一个区间起点求值。如果先把新位置写回，再用它计算本次速度，实际上已经换了方程。跨帧只保留位置、每次把速度置零，也无法沿用这条解：它会在每个帧边界人为丢掉动量，刷新率越高，重置次数越多。

固定输入取 x₀=0、v₀=0、g=10、ω=8、t=1。于是 y₀=-10、c=-80，直接得到 x=10-90exp(-8)=9.969808363489，v=640exp(-8)=0.214696081858。30、60、120 次分段求值应回到这个状态，而不只是最终位置看起来接近。

将完整状态留在跟随控制器

研究目录 .tmp/daily-labs/2026-11-02-1930/ 的 SpringStep.cs 用 SpringState 保存位置和速度，Advance 消费旧状态、目标、ω 和时间间隔，返回新状态。完整核心如下，使用 .NET 9 的 double 验证数值关系：

public readonly record struct SpringState(double Position, double Velocity);

public static class SpringStep
{
    public static SpringState Advance(SpringState state, double target,
        double omega, double dt)
    {
        if (!double.IsFinite(state.Position) || !double.IsFinite(state.Velocity) ||
            !double.IsFinite(target) || !double.IsFinite(omega) ||
            !double.IsFinite(dt) || omega <= 0 || dt < 0)
            throw new ArgumentException("Invalid spring input");
        double y = state.Position - target;
        double c = state.Velocity + omega * y;
        double decay = Math.Exp(-omega * dt);
        // 位置与速度由同一个区间起点求值，不能串行覆盖旧状态。
        double position = target + (y + c * dt) * decay;
        double velocity = (state.Velocity - omega * c * dt) * decay;
        if (!double.IsFinite(position) || !double.IsFinite(velocity))
            throw new ArgumentException("Spring state overflow");
        return new(position, velocity);
    }
}

在游戏中，跟随控制器应持有返回状态，视图只消费位置；三维平移可以对三个轴分别执行同一标量方程，并保留三维速度。这个探针验证的是标量控制内核，没有完成 Unity 或 Godot 的相机更新顺序、遮挡避让与物理交互集成。

半隐式欧拉分支同样使用正确量纲，但对区间内加速度只取一次样本：

double v = state.Velocity +
    (64 * (10 - state.Position) - 16 * state.Velocity) * dt;
state = new SpringState(state.Position + v * dt, v);

当前固定目标问题有闭式解，因此可以直接替换这一数值近似。若系统同时施加碰撞、速度上限或非线性约束，闭式步进仅解决自由跟随区间；不能把受约束的整段运动继续当作同一个线性系统。尤其是碰撞把镜头位置推回以后，应明确速度是否也要沿接触法线投影，否则下一帧仍可能携带朝墙内运动的速度。

分帧一致的前提是区间内目标不变

Program.cs 的 Run 对相同初值分别执行 30、60、120 次更新，并将位置和速度与单次一秒解比较。测试还用固定种子 71102 生成 10,000 组初值和两段时间：位置、目标在 [-20,20)，速度在 [-10,10)，ω 在 [1,16)，两段时间各在 [0,1)。每组验证 Advance(Advance(s,a),b) 与 Advance(s,a+b)。

这条组合关系依赖两次调用使用相同目标和参数。若目标在 0.5 秒时从 10 跳到 −10，必须在切换点拆成两段；运行结果为位置 −8.198628、速度 −11.507313。把目标冻结为 10 运行整秒，仍会得到位置 9.969808，两者描述不同输入，不能拿来证明步进不稳定。

对连续移动的目标，每帧取一次目标再冻结，只是对输入轨迹的零阶保持。闭式解消除了这个冻结区间内的积分误差，却没有消除目标采样误差。若要求不同渲染刷新率下严格复现，应让目标在固定逻辑时刻采样，或为目标轨迹建立可积分模型；不能只把欧拉公式换掉就承诺回放一致。

临界阻尼也不意味着任意初值都不会越过目标。固定 x₀=0、v₀=120、g=10、ω=8，半秒后位置为 10.183156。此时 y(t)=(-10+40t)exp(-8t)，在 0.25 秒越过零点；这是初始速度带来的解，并非欠阻尼振荡。切换镜头时若继承旧速度，就必须接受这条运动，或显式设计速度重置规则。

用末态和拒绝行为做回归

2026-11-02 在 .NET 9 Release 下运行以下命令。Check 覆盖解析末态、三种分帧、零时间、静止平衡、高初速度与目标切换；Reject 检查非正 ω、负时间、非有限输入和溢出，随机组合关系另外以位置、速度误差各计一个断言。

cd "$WORK_DIR"
dotnet build .tmp/daily-labs/2026-11-02-1930/SpringLab.csproj -c Release --no-restore
dotnet run --project .tmp/daily-labs/2026-11-02-1930/SpringLab.csproj -c Release --no-build

build: exit=0, warnings=0, errors=0
run: exit=0, passed=23, failed=0, skipped=0
elapsed_ms=45.8485
fixed_target=10, omega=8, duration=1
Hz    exact_position    exact_velocity    euler_position    euler_velocity
30    9.969808363489    0.214696081858    9.929777308788    0.401271265796
60    9.969808363489    0.214696081858    9.948853922087    0.313480707611
120   9.969808363489    0.214696081858    9.959065102344    0.265592773645
random_count=10000
max_position_error=1.4210854715202004e-14
max_velocity_error=5.684341886080802e-14

耗时是本轮正确性验证的总时间。随机验证使用 double 和有限数值范围；引擎接入若改用 float、加入超大世界坐标或极端参数，需要重新确定误差容限。当前实现拒绝非有限输出，不能把这一保护等同于对所有病态数值组合都具有足够精度。

镜头弹簧的接口应同时交付位置与速度，并说明目标在什么时间点取样。固定目标和固定参数之间可以合并或拆分时间步；目标切换、碰撞修正和速度重置则是必须保留的状态事件。这样才能区分积分误差与输入差异，避免用刷新率相关的参数补偿去掩盖不同的运动合同。