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本文属于系列「游戏中的数学：从坐标到可同步运动」第 2 / 15 篇

游戏中的数学 02：位置、位移与向量语义

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位移序列

第一章已经把长度统一为米。固定实验中的移动体从原点依次经过位移 (3,0)、(0,4)、(-1,-1)：位置是世界中的点，步骤是两个点之差，路程是每段长度之和，净位移是三段向量之和。它们均可表示为两个数，但状态所有者和运算规则不同。

// $WORK_DIR/.tmp/game-math-lab/Program.cs · Chapter02
Vector2[] steps = [
    new(3, 0),
    new(0, 4),
    new(-1, -1)
];

var points = new List<P> { new(0, 0) };
foreach (var s in steps)
    points.Add(new(points[^1].X + s.X, points[^1].Y + s.Y));

三段位移的首尾相接构造

移动系统拥有当前位置，输入或寻路系统提交位移；数学层不保存任何对象状态，只定义加减、长度和归一化。这个边界允许服务端、Unity 或 Godot 复用同一组固定输入，同时使基础类型不依赖 Transform、Node 或网络实体。

向量语义

点加位移得到点，点减点得到位移；位移可以累加，位置相加通常没有玩法语义。System.Numerics.Vector2 不区分这些概念，因此变量名、接口参数和测试必须约束语义边界。

// Program.cs · Chapter02 reductions
var totalDistance = steps.Sum(v => v.Length());

var net = steps.Aggregate(
    Vector2.Zero,
    (accumulator, step) => accumulator + step);

var finalPosition = Vector2.Zero + net;
var netDistance = net.Length();

固定输入得到终点 (2,3) 米，但总路程 8.414213 米，净距离只有 3.605551 米。把路程写成 finalPosition.Length() 会丢失折返路径信息；把位移长度逐段相加后再当方向，则会使量纲从米退化为无意义标量。

状态更新

输入步骤只累加位置，路程和净位移分别归约后再写出数据。终点断言不依赖渲染帧，也不读取引擎对象；这组固定步骤可以直接成为后续确定性运动的最小证据。

// Program.cs · Chapter02 normal check and output
Check(
    Vector2.Distance(net, new(2, 3)) < 1e-6,
    "vector addition preserves displacement");

WriteData(2, new {
    final = V(net),
    total_distance = totalDistance,
    net_distance = net.Length(),
    zero_normalize = false
});

Done(2,
    $"final=({net.X:F3},{net.Y:F3})m " +
    $"path={totalDistance:F6}m net={net.Length():F6}m");

零向量退化

方向需要单位长度，但零位移没有方向。直接调用归一化会使无效值继续进入朝向、点积或矩阵；实验接口将其设计为 Try 分支，运动状态机据此选择保持旧朝向、停止移动或报告输入错误。

// Program.cs · TryNormalize
static bool TryNormalize(Vector2 value, out Vector2 unit)
{
    if (value.LengthSquared() < 1e-12)
    {
        unit = default;
        return false;
    }

    unit = Vector2.Normalize(value);
    return true;
}

Check(
    TryNormalize(Vector2.Zero, out _) == false,
    "zero vector normalization fails explicitly");

零向量不会被隐式指定为 (1,0)。默认方向会制造一次不存在的玩家输入，而且不同系统可能选择不同默认值。显式失败分支使跨端状态转换保持一致：没有位移，就没有新方向。

长度量纲

平方长度省去开方，适合距离排序和阈值比较；真实距离保留米。两者数值不能混用：长度为 4 米的向量，平方长度是 16 平方米。实验图采用两个独立纵轴：左侧仅表示米，右侧仅表示平方米，避免以柱高制造跨量纲比较。

{
  "final": { "x": 2, "y": 3 },
  "total_distance": 8.414213,
  "net_distance": 3.6055512,
  "zero_normalize": false
}

point    x_m  y_m
start      0    0
after_1    3    0
after_2    3    4
after_3    2    3

segment  dx  dy  length_m  length_squared_m2
1         3   0  3.000000  9.000000
2         0   4  4.000000  16.000000
3        -1  -1  1.414214  2.000000
sum/path         8.414213
net       2   3  3.605551  13.000000
path_minus_net   4.808662
path_ge_net      true
zero_normalize   false

三段位移的长度与平方长度分轴对照

实验结果

终点断言与零向量失败断言必须一起通过。输出把米直接写进字段和日志，后续复制数据时不会丢失尺度。

cd "$WORK_DIR"
dotnet run --project .tmp/game-math-lab/GameMathLab.csproj \
  -- --out .tmp/game-math-lab/out

CH02 PASS final=(2.000,3.000)m
  path=8.414213m net=3.605551m
TOTAL pass=15 fail=0 skip=0 chapters=15 elapsed_ms=148.7
EXIT code=0

类型选择

实现复用运行时提供的 Vector2，不为点、位移和速度分别增加包装类型；该选择保持代码与引擎桥接简洁，代价是语义必须由接口和测试约束。当坐标跨越协议、编辑器和多语言边界，且误用无法仅由评审控制时，再引入强类型。

第三章的点积和叉积仅使用 Vector2、米制长度、平方长度，以及“单位向量要么长度为一、要么构造失败”的不变量；这些运算用于判定前后与左右，并将任意向量分解为投影和拒绝分量。

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