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游戏中的数学 15：大世界坐标与网络快照

以 Cell 加局部坐标、16 位量化和固定网络扰动收束全卷，给出大世界重构与快照插值的可复算误差预算。

游戏中的数学 14：透视投影与反投影

用透视投影与反投影射线做 10000 点回代，以亚像素残差和相机后方拒绝分支约束显示与拾取边界。

游戏中的数学 13：连续碰撞与首次接触时间

把圆半径并入墙体边界并求首次接触时间，用 400 组速度与墙厚样本量化离散检测的穿墙区间。

游戏中的数学 12：射线求交与首个有效命中

用统一 Hit、球面回代、平面平行分支与 AABB slab，把拾取和前探测收敛为可验证的第一个正向命中。

游戏中的数学 11：最近点与有符号距离

从线段投影与有符号距离出发，用退化断言和 4941 个固定网格样本建立可复算的碰撞几何底座。

游戏中的数学 10：固定时间步与数值积分

用抛体和弹簧对比固定步长与欧拉积分器，量化 30/60/120Hz 位置误差和一万 Tick 能量漂移。

游戏中的数学 09：位置函数的数值微分

从连续位置函数推导速度与加速度，用六档步长实测前向差分和中心差分的收敛误差。

游戏中的数学 08：曲线参数化与弧长重参数化

用三次 Bezier 和弧长反查表证明等参数采样并非等距离运动，并以 100 段数据量化速度波动。

游戏中的数学 07：插值参数与旋转插值

把插值拆成参数、位置和值域合同，并用 101 个姿态样本对比 Nlerp 与 Slerp 的角步长方差。

游戏中的数学 06：四元数旋转与单位模约束

用单位四元数的模长不变量约束旋转组合，并用一万次小旋转实测归一化前后的累计漂移。

游戏中的数学 05：逆变换与层级重挂

以三层层级的重挂实验验证世界变换守恒，并使奇异缩放和病态逆矩阵在边界处显式失败。

游戏中的数学 04：齐次变换与坐标系映射

用固定 TRS 矩阵和一万个种子点验证局部到世界再返回的残差，并锁定组合顺序与可逆条件。

游戏中的数学 03：点积、叉积与向量投影

用 360 个固定方向验证视野、左右侧和向量分解，把朝向判断收敛成可复算的点积与叉积合同。

游戏中的数学 02：位置、位移与向量语义

用三段可运行位移区分位置、位移、路程与方向，并把零向量归一化变成显式失败分支。

游戏中的数学 01：坐标约定、单位制与数值误差

定义右手坐标系、米、秒、弧度和缩放误差合同，使后续向量、变换与同步共享同一套数值语义。