动画 Hermite 曲线：每秒速度必须换成区间切线
移动平台的动画从位置 0 走到 10，区间长两秒，起点速度设为每秒 2，终点速度为零。两端位置完全正确，起步却只有每秒 1。把同一组数据放进一秒区间，问题又消失了。若验收只检查关键帧位置，这条曲线会一直通过；错误藏在编辑器保存的速度与运行时求值参数之间。
这里采用独立 C# 数值工程，把位置限定为一条轴上的标量，时间统一为秒。它验证 Hermite 区间的值和导数，没有接入引擎动画导入器，也不把任何引擎的 tangent 字段预设成相同单位。资产接入前，需要明确字段究竟保存每秒速度，还是对区间参数的导数。
两秒区间为什么会把速度除以二
求值通常先把区间内时间 t 换成 u = t / T，其中 T 是区间时长，u 从零变化到一。三次 Hermite 的四个基函数只认识 u：
h00 = 2u³ - 3u² + 1
h10 = u³ - 2u² + u
h01 = -2u³ + 3u²
h11 = u³ - u²
x(u) = h00*p0 + h10*m0 + h01*p1 + h11*m1
在起点，对 u 求导得到的恰好是 m0。但播放系统需要的是对秒求导的速度，链式法则给出 dx/dt = (dx/du)/T。因此，如果输入 v0、v1 是每秒速度，就必须使用 m0=T*v0、m1=T*v1。m 的量纲与位置相同，v 则比位置多一个每秒；两者数值只在 T 恰好为一秒时碰巧相等。
开篇数据应得到 m0=4、m1=0。在一秒处，u=0.5，位置为 0.5*10 + 0.125*4 = 5.5。若直接把 2 放进 m0，就会得到 5.25，起点物理速度也变成 2/2=1。这不是曲线精度不足，也不需要提高采样频率；每一次采样都在求同一条错误曲线。
求值接口一起交付位置和速度
HermiteSegment.cs 保留完整核心实现。构造函数接收每秒速度，只在构建区间时换算一次；Evaluate 接收区间内已经过的秒数，同时返回位置和每秒速度。这样测试和下游消费者不必再猜导数的单位。
public readonly record struct Sample(double Position, double Velocity);
public sealed class HermiteSegment
{
private readonly double p0, p1, m0, m1;
public double Duration { get; }
public HermiteSegment(double start, double end, double startVelocity,
double endVelocity, double duration)
{
if (!double.IsFinite(start) || !double.IsFinite(end) ||
!double.IsFinite(startVelocity) || !double.IsFinite(endVelocity) ||
!double.IsFinite(duration) || duration <= 0)
throw new ArgumentException("Invalid segment");
p0 = start; p1 = end; Duration = duration;
// 每秒速度换成对归一化参数的导数。
m0 = duration * startVelocity;
m1 = duration * endVelocity;
if (!double.IsFinite(m0) || !double.IsFinite(m1))
throw new ArgumentException("Unrepresentable tangent");
}
public Sample Evaluate(double elapsed)
{
if (!double.IsFinite(elapsed) || elapsed < 0 || elapsed > Duration)
throw new ArgumentOutOfRangeException(nameof(elapsed));
double u = elapsed / Duration, u2 = u * u, u3 = u2 * u;
double position = (2*u3-3*u2+1)*p0 + (u3-2*u2+u)*m0
+ (-2*u3+3*u2)*p1 + (u3-u2)*m1;
double velocity = ((6*u2-6*u)*p0 + (3*u2-4*u+1)*m0
+ (-6*u2+6*u)*p1 + (3*u2-2*u)*m1) / Duration;
if (!double.IsFinite(position) || !double.IsFinite(velocity))
throw new ArithmeticException("Unrepresentable sample");
return new Sample(position, velocity);
}
}
调用链是 Program.cs 构造区间，再由 HermiteSegment.Evaluate 产生 Sample。在实际动画管线中，轨道负责选出相邻关键帧并计算局部时间，区间只负责数值求值，播放控制器再把结果提交给目标属性。重复时间戳应在建轨道时合并、拒绝或声明为跳变；本实现拒绝零时长，不会用一个极小正数掩盖它。
相邻区间如果要保持同一轨道时间下的速度连续，应让前段终点速度与后段起点速度一致。两个区间的时长可以不同，换算后的 m 也理应不同。直接复制归一化切线，反而会在不等长区间接缝处改变速度。这里保证的是一阶导数的单位，未约束二阶导数，所以不能据此承诺加速度连续。
时间拉伸还需区分两种编辑意图。若保持每秒速度不变，只移动关键帧时间，就要根据新 T 重建 m，曲线形状可能随之改变；若希望同一条形状仅播放得更慢，T 乘 k 时，输入速度应除以 k，使 m 保持不变。运行时若通过播放倍率改变轨道时间，返回的 Velocity 仍是对轨道秒的导数，换成现实时间速度还要乘该倍率。当前探针不负责播放时钟。
端点速度正确，仍不能保证平台留在区间内
再把两端位置改为 0 和 1，时长一秒，速度设为 6 和 -6。中点位置会达到 2：曲线先越过终点，再回来满足负的终点速度。单位换算没有错误，端点也全部匹配，但它不适合要求单调移动的平台。
不能把输出位置简单夹到 [0,1] 后继续报告原导数。进入夹紧平台期后，实际位置导数为零，原曲线速度却未必为零，接口会自相矛盾。若玩法要求不越界，应在资产阶段限制切线、选择单调插值，或改用另一份明确的运动约束；那会改变允许的端点速度，属于上层政策。本实现保留原曲线，方便暴露这个冲突。
Program.cs 中两个回归分别固定漏乘时长与越界现象。Near 检查绝对误差不超过 1e-9：
Test("missing-duration-regression", () => {
// 错误公式直接把每秒速度当成归一化切线，等价于缩小输入速度。
var wrong = new HermiteSegment(0,10,1,0,2);
Near(wrong.Evaluate(0).Velocity,1);
Near(wrong.Evaluate(1).Position,5.25);
});
Test("overshoot", () => Near(new HermiteSegment(0,1,6,-6,1).Evaluate(.5).Position,2));
当天验证还使用独立参照 f(t)=a*t³+b*t²+2*t-3 及其解析导数，取整数 a、b 各为 -2 至 2，T 为 1 至 8 秒，每段采样 101 点，共 20,200 点。测试只把参照多项式的端点值和端点导数交给区间，再比对整个内部曲线；它没有把 Hermite 基函数复制一遍充当答案。另有中央差分检查实际秒尺度上的导数。
2026-09-24 的运行环境为 .NET 9.0.3。$PROBE_ROOT 表示包含工程及源码的目录：
dotnet build "$PROBE_ROOT/HermiteTimeLab.csproj" -c Release
dotnet run --project "$PROBE_ROOT/HermiteTimeLab.csproj" -c Release --no-build
build: exit=0 warnings=0 errors=0 elapsed=8.09s
run: exit=0 passed=17 failed=0 skipped=0
samples=20200 elapsedMs=34.2735
T=2 p=(0,10) v=(2,0): x(1)=5.5 velocity(0)=2 velocity(1)=7
missing duration: x(1)=5.25 velocity(0)=1
T=1 p=(0,1) v=(6,-6): x(0.5)=2
计时包含断言执行，不是动画帧耗时基准。测试覆盖正常端点、内部值、常量曲线、非有限输入、切线溢出与区间外时间。实现明确拒绝外推；巨大位置仍可能令中间运算溢出，此时求值抛错，而不是承诺所有有限输入都有可表示输出。这些数值检查也不能替代真实动画资产的量级与压缩精度验收。
平台现在能按声明的每秒 2 起步，但是否允许越过轨道端点仍须由运动设计决定。资产接口值得固定的是切线单位和时间拉伸含义：保存每秒速度时，由区间时长完成换算；保存归一化导数时，则不能再重复乘时长。把这一约定连同位置、速度一起验证，才能让导入、编辑、重采样和播放共享同一条曲线。