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接近速度相同，音高却不同：多普勒不能只保留相对速度
声源在监听者左边，两者都向右移动，速度分别为 170 和 136 米/秒；另一组让声源静止、监听者以 34 米/秒向左移动。两组的接近速度都是 34 米/秒，按声速 340 米/秒计算，接收音高倍率却分别是 1.2 和 1.1。若音频接口只收到两者的相对速度，这两种输入已经无法区分。
本篇的独立 C# 探针保留声源速度和监听者速度，在同一静止介质坐标系中计算倍率。固定反例使用较大但仍低于声速的速度，方便暴露差异；它没有播放音频，也没有接入具体引擎。
两个速度改变的是不同环节
先看共线匀速情况。声源初始位于 0，监听者位于距离 d 的右侧，向右为正。记声源速度为 vs、监听者速度为 vl，发出某个波前的时刻为 t，波前到达监听者的时刻为 T。波前离开发声位置后，以声速 c 在介质中传播，因此有：
c × (T - t) = d + vl × T - vs × t
T(t) = [d + (c - vs) × t] / (c - vl)
ΔT / Δt = (c - vs) / (c - vl)
接收频率 / 发出频率 = Δt / ΔT = (c - vl) / (c - vs)
声源向前移动，下一次发声位置离前一个波前更近，改变波前间距，进入分母。监听者迎着波前移动，提高单位时间遇到波前的数量，进入分子。两项不能先相减再随意塞进某个分母。
开头两组输入分别得到 204/170 和 374/340。相对速度模型即使恰好拟合第二组，也不能同时保留第一组结果。这与碰撞反弹中切到物体相对坐标系的做法不同：声速相对于介质定义，改变运动参照时还必须处理介质速度。
对任意当前连线，定义单位方向 n 从声源指向监听者，将两个速度分别点乘 n。声源沿 n 运动会升高音高，监听者沿 n 运动则降低音高。若两者以相同速度沿连线移动，分子与分母相同，倍率回到 1；单纯使用速度长度则会失去迎面与远离的符号。
这里的方向取自同一采样时刻的位置，属于瞬时连线近似。严格的传播模型需要连接发射位置和接收位置，并使用相应时刻的速度；本实现没有求解延迟位置。横向运动在当前采样点的径向分量为零，函数返回 1，只证明投影合同成立，不能推断整个掠过过程没有音高变化。
在音频边界保留介质坐标，而不是过早压成一个标量
源码为 .tmp/daily-labs/2026-11-05-2000/Doppler.cs，调用链是 Program → Doppler.Ratio → V2.Length / Dot。以下是完整计算组件：
public readonly record struct V2(double X, double Y)
{
public static V2 operator -(V2 a, V2 b) => new(a.X - b.X, a.Y - b.Y);
public double Dot(V2 b) => X * b.X + Y * b.Y;
public double Length()
{
double m = Math.Max(Math.Abs(X), Math.Abs(Y));
return m == 0 ? 0 : m * Math.Sqrt((X / m) * (X / m) + (Y / m) * (Y / m));
}
public bool Finite => double.IsFinite(X) && double.IsFinite(Y);
}
public static class Doppler
{
// 坐标为米，速度为相对静止介质的米每秒。
public static double Ratio(V2 source, V2 listener, V2 sourceVelocity,
V2 listenerVelocity, double soundSpeed)
{
if (!source.Finite || !listener.Finite || !sourceVelocity.Finite ||
!listenerVelocity.Finite || !double.IsFinite(soundSpeed) || soundSpeed <= 0)
throw new ArgumentException("non-finite input or invalid sound speed");
V2 delta = listener - source;
double distance = delta.Length();
if (!double.IsFinite(distance) || distance < 1e-6)
throw new ArgumentException("undefined source-listener direction");
if (sourceVelocity.Length() >= soundSpeed || listenerVelocity.Length() >= soundSpeed)
throw new ArgumentException("subsonic model required");
V2 n = new(delta.X / distance, delta.Y / distance);
// 先除声速，避免 c 与径向速度相减产生不必要的大数运算。
double s = new V2(sourceVelocity.X / soundSpeed, sourceVelocity.Y / soundSpeed).Dot(n);
double l = new V2(listenerVelocity.X / soundSpeed, listenerVelocity.Y / soundSpeed).Dot(n);
double numerator = 1 - l, denominator = 1 - s;
if (numerator <= 1e-6 || denominator <= 1e-6)
throw new ArgumentException("near-sonic radial velocity");
return numerator / denominator;
}
}
位置单位为米，速度单位为米每秒。声速 340 是探针的固定参数，不是对所有环境的测量结论。引擎若使用厘米坐标，应统一换算位置、速度和声速；只换位置不会自动纠正从坐标差分得到的速度。
Length 先缩放再平方，避免有限大分量在求模过程中提前溢出。位置相减仍可能溢出，因此距离也检查有限性。距离小于一微米时方向未定义，接口显式拒绝；同样拒绝超声速输入，以及径向项离奇点过近的情况。1e-6 的距离阈值带米制单位，分子、分母阈值则是无量纲保护，二者不能混成一个“通用 epsilon”。
整段速度低于声速是当前模型的合同，不能只检查径向投影。一个横向超声速对象即使投影为零，也不在此函数的接受范围。抛错后，播放层可以沿用最后有效倍率或暂停多普勒调制，但应保留错误计数；把非法输入直接钳成一个漂亮倍率，会掩盖传送、时间差为零或尺度错误。
用两次波前的相遇时刻检查倍率
Program.cs 的 Check、Near 与 Reject 验证静止、迎面、远离、共同移动、横向投影、旋转平移一致性及非法输入。拒绝样本包括重合位置、无效声速、非有限速度、超声速、近奇点和坐标相减溢出。
另外，固定种子 7110520 生成 10,000 组共线速度，vs、vl 分别均匀取自 [-272,272) 米/秒。初始距离为 100 米，两次波前在 0 和 0.001 秒发出；程序分别求出相遇时刻，用发射间隔除以接收间隔，与计算组件比较。这检查的是共线、匀速、尚未越过监听者的传播关系，未把随机测试扩大成三维声场验收。
2026-11-05 在 .NET 9 Release 下执行：
cd "$WORK_DIR"
dotnet build .tmp/daily-labs/2026-11-05-2000/DopplerLab.csproj -c Release
dotnet run --project .tmp/daily-labs/2026-11-05-2000/DopplerLab.csproj -c Release --no-build
build: exit=0, warnings=0, errors=0
run: exit=0, passed=20, failed=0, skipped=0
random_pairs=10000
source=170, listener=136: ratio=1.2
source=0, listener=-34: ratio=1.1
source=34, listener=34: ratio=1
transverse_source=34: instantaneous_ratio=1
max_wavefront_error=1.6333601138285303E-12
elapsed_ms=18.4594
最大误差为倍率绝对差，主要检验两条计算路径的数值一致性；耗时仅描述这次正确性探针，不代表音频回调预算或播放延迟。边界断言没有被随机样本替代，后者不会稳定命中位置重合或恰好达到声速的输入。
游戏接入时，空间系统应交付同一快照下的位置、速度及其介质参照，音频空间化层计算原始倍率，播放层再应用艺术性的倍率上限和平滑。若引擎已经启用内置多普勒，就应由它承担这一步，额外乘一次会重复调制。浮动原点或传送也不能直接混入位移差分，否则空间重定位会被解释为高速运动。
只需要当前连线近似的游戏，可以把传播延迟留在模型之外；若高速近距离掠过的方向变化已经影响需求，就需要发射历史和延迟位置求解，平滑倍率不能补回这段几何信息。无论最终选择哪种听感，接口都应先保留两个介质速度。只剩一个接近速度之后，开头那两种本应不同的结果已经无从恢复。