层级剪切下的包围球剔除：最大轴缩放为何不够
一个半径为 1 的局部包围球，经过 x′=x+y，y′=y，z′=z 的变换后，在某个方向上伸到了约 1.618。若剔除器只检查三个变换后基向量的长度，得到的最大值却是约 1.414。把裁剪平面放在该方向的 1.5 处，两种判断立即分歧：前者仍有几何越过平面，后者会把整个对象删除。
这个反例不需要动画、异步回读或错误的 Bounds 更新。即使局部球完整包住了模型，只要世界变换包含剪切，半径转换本身就可能失去保守性。父级非均匀缩放与子级旋转组合后，世界基向量可能不再正交；只检查各节点是否使用常规位置、旋转、缩放，不能替代检查最终矩阵。这里用一个固定剪切矩阵隔离问题，不把它伪装成某款引擎的现场缺陷。
上图说明形状关系，不承担数值证明。后面的坐标图由相同固定输入直接绘制。
三根轴没有测到最容易伸长的方向
为了推导，暂用列向量写世界位置 p=A(c+r u)+t，其中 c 是局部球心，r≥0，|u|≤1。固定剪切的线性部分为 A=[[1,1,0],[0,1,0],[0,0,1]]，三列长度分别是 1、√2、1。取最大列长相当于只测三条局部轴；斜向单位向量的两个分量可以同时贡献给世界 X，所以它不受这个最大值约束。
本例 AᵀA 的最大特征值是 (3+√5)/2，最大伸长因此为 (1+√5)/2≈1.618034。这只是该矩阵的解析结果，不意味着每个对象每帧都应该求特征值。若最终线性变换的列确实正交，最大列长才等于最大伸长；一旦允许一般仿射矩阵，这项快捷判断就需要换掉。
剔除器通常只关心对象是否完全落在某个平面外。与其重新构造一个全球方向都有效的世界球，可以直接回答当前平面的问题。
把平面方向送回局部球
设世界平面的保留侧是 n·p+d≥0，法线不要求单位长度。球心代入平面得到 s=n·(Ac+t)+d。球面偏移在平面方向上的最大贡献为：
max n·A(r u) = r max (Aᵀn)·u = r |Aᵀn|, |u| <= 1
最后一步来自点积上界，并且当 Aᵀn 非零时可以取同向单位向量达到；为零时支撑量就是零。因此 s+r|Aᵀn|<0 才能证明整个变换后球位于该平面外。这里没有求逆，某一维缩放为零时仍然有意义。
实际实现位于 SpherePlane.cs 的 SpherePlane.Evaluate，由 Program.cs 固定样本和回归检查调用。代码使用 .NET 9 的 System.Numerics 行向量存储约定，平移在 M41..M43。推导里的 A 是数学上的列向量映射，不能把 Matrix4x4 的内存布局直接当成同一矩阵抄入公式；实现显式取每一行基向量与世界法线点积。
using System.Numerics;
public readonly record struct PlaneResult(double CenterValue, double Support, bool Outside);
public static class SpherePlane
{
public static PlaneResult Evaluate(Vector3 center, double radius,
Matrix4x4 world, Vector3 normal, double offset, double tolerance = 1e-6)
{
double[] values = [center.X, center.Y, center.Z, radius, normal.X,
normal.Y, normal.Z, offset, tolerance, world.M11, world.M12,
world.M13, world.M14, world.M21, world.M22, world.M23, world.M24,
world.M31, world.M32, world.M33, world.M34, world.M41, world.M42,
world.M43, world.M44];
if (values.Any(v => !double.IsFinite(v)) || radius < 0 || tolerance < 0)
throw new ArgumentException("Invalid finite input");
if (world.M14 != 0 || world.M24 != 0 || world.M34 != 0 || world.M44 != 1)
throw new ArgumentException("Affine transform required");
double nx = normal.X, ny = normal.Y, nz = normal.Z;
double length = Math.Sqrt(nx * nx + ny * ny + nz * nz);
if (length == 0) throw new ArgumentException("Nonzero plane required");
// 行向量布局：每一行基向量与世界平面法线做点积。
double qx = world.M11 * nx + world.M12 * ny + world.M13 * nz;
double qy = world.M21 * nx + world.M22 * ny + world.M23 * nz;
double qz = world.M31 * nx + world.M32 * ny + world.M33 * nz;
double s = center.X * qx + center.Y * qy + center.Z * qz
+ world.M41 * nx + world.M42 * ny + world.M43 * nz + offset;
double support = radius * Math.Sqrt(qx * qx + qy * qy + qz * qz);
return new(s, support, s + support < -tolerance * length);
}
}
输入矩阵与向量保留单精度格式，关键乘积和累加转为双精度。tolerance 的单位是世界长度，所以判定右侧乘以 |n|；把同一平面的法线与偏移同时乘正数，不应改变剔除结果。负数缩放平面系数会反转保留侧，不属于这种等价变换。
非有限输入、零法线、负半径和投影矩阵被显式拒绝。调用方收到拒绝时应保留候选并记录数据错误，不能把异常默认翻译为不可见。零缩放则是有效的退化几何，无须沿用旧球或制造一个逆矩阵。这份接口接收局部球、完整仿射世界矩阵和世界平面；三者应来自同一份场景快照，不能在剔除循环中混用更新前后的数据。
让 1.5 这条边界成为回归
固定法线由 (0.8506508,0.5257311,0) 归一化，球心为零，平面偏移为 -1.5。正确的支撑量使最大平面值约为 +0.118034，错误半径则得到 -0.085786。只需保留这个样本，后续把实现改回“最大轴长度”的优化就会触发回归。
var shear = Matrix4x4.Identity;
shear.M21 = 1;
var n = Vector3.Normalize(new Vector3(0.8506508f, 0.5257311f, 0));
var result = SpherePlane.Evaluate(Vector3.Zero, 1, shear, n, -1.5);
Check("shear_false_cull_regression",
!result.Outside && -1.5 + Math.Sqrt(2) < 0);
这里的 Check 是 Program.cs 中记录通过或失败并决定进程退出码的断言函数。另一正常样本把偏移改为 -2，得到真正的完全外侧；相切、微小容差、平面正比例缩放、平移、非零局部球心、镜像、零缩放与非法输入也分别检查。它们约束的是同一条支撑计算调用链。
2026-09-09 在 .NET 9 Release CPU 控制台程序中执行以下命令。$LAB_ROOT 指向包含上述源码和项目文件的研究目录；这些数据不代表 Unity 实机、GPU 执行或帧率测试。
dotnet build "$LAB_ROOT/PlaneLab.csproj" -c Release --no-restore
dotnet run --project "$LAB_ROOT/PlaneLab.csproj" -c Release --no-build
build: exit=0 warnings=0 errors=0 elapsed=1.46s
run: exit=0 passed=16 failed=0 skipped=0 elapsed=33.9709ms
center_value=-1.5 support=1.618034 wrong_radius=1.414214
correct_outside=false wrong_outside=true
sampled_projections=259200 max_excess=2.220446049250313E-16
运行计时来自程序内部计时器，包含断言输出与采样循环，不含进程启动和编译。采样把 XY 平面法线每隔一度取一次，对变换前单位圆每隔半度取一点，共检查 360×720 组投影。最大越界仅约为双精度舍入量级，小于测试阈值 1e-12。这组离散回归帮助发现矩阵转置和索引错误；连续三维范围的依据仍是前面的点积上界，不能用采样数量替代证明。
保留候选不等于证明可见
对视锥各个内向平面重复检查，任一平面证明完全外侧即可剔除；全部通过只意味着没有找到这类分离平面。靠近视锥棱角时可能多保留对象，包围球也可能本来就较松。这个方法的目标是避免当前包围体被错误缩小，不承担精确形体相交、遮挡判断或动画变形 Bounds 的职责。
固定绝对容差也不是任意坐标尺度的浮点误差证明。极端半径仍可能使乘积溢出，巨大的世界坐标会放大抵消误差；生产接入应限定数值范围，采用相机相对坐标或明确的误差界，并对非法派生值保守保留。本次测试只覆盖所列固定尺度，未测大世界极值。
若空间索引确实要求一个世界球，可以使用经过证明的最大奇异值上界，例如线性矩阵的 Frobenius 范数，但包围范围会更松。若下游只需要少量平面判断，直接提交局部球与仿射变换，按方向计算支撑量，能够保留更贴近当前边界的判定。两种选择应由消费接口决定，不能为了缓存一个半径而悄悄禁止场景层级中的剪切。
开头那段越过 1.5 的几何现在能够继续进入后续渲染判断。修复所依赖的合同很具体：剔除端必须拿到真实的完整线性变换，并对正在测试的方向证明包围范围；三根轴上的伸长统计不足以承担这个证明。